CHOQUES EN DOS DIMENSIONES

Para un choque en donde los objetos se estén moviendo en dos dimensiones (es decir, x y y), el momento se conservará en cada dirección (siempre y cuando no haya un impulso externo en esa dirección). En otras palabras, el momento total en la dirección x será el mismo antes y después del choque.

EJEMPLO:

El juego de billar es un ejemplo muy familiar en el que se producen múltiples choques entre partículas en dos dimensiones. Para este caso las ecuaciones de la conservación de la cantidad de movimiento para cada eje son:

A la hora de resolver problemas debes sustituir los valores conocidos y resolver este sistema de ecuaciones.

Vamos a considerar el caso de un choque en dos direcciones en el que una partícula de masa m1 choca con otra de masa m2 que está inicialmente en reposo.

Después de la colisión, la bola 1 se mueve con un ángulo α$𝛼$ respecto a la horizontal y la bola 2 se mueve con un ángulo β$𝛽$ con respecto a la horizontal. En el siguiente esquema puedes ver la situación antes y después del choque:

Si aplicamos la ley de conservación del momento a cada eje, y ​​teniendo en cuenta que la cantidad de movimiento inicial de la bola 2 es cero, tenemos:

Una bola de billar que se mueve a 5 m/s golpea a otra bola de la misma masa que está en reposo. Después de la colisión, la primera bola se mueve a 4,33 m/s con un ángulo de 30º con respecto a la línea original del movimiento. Si suponemos que la colisión es elástica, ¿cuál es la velocidad de la otra bola después del choque?

R:

Calculamos la cantidad de movimiento del sistema en el eje X antes del choque:

v1ix = 5 m/s

v2ix = 0

pix = 5·m

Calculamos la cantidad de movimiento del sistema en el eje X después del choque:

v1fx = 4,33 · cos30º

v2fx = v2f ·cos β

pfx = m·4,33 · cos30º + m· v2f ·cos β

pfx = m (3,750 + v2f ·cos β)

Aplicamos el principio de conservación de la cantidad de movimiento en el eje X:

Las masas son iguales, pero no conocemos su valor: m1 = m2 = m

pix = pfx

5·m = m (3,750 + v2f ·cos β)

5 = 3,750 + v2f ·cos β

v2f ·cos β = 5- 3,75

v2f ·cos β = 1,25 m/s

Calculamos la cantidad de movimiento del sistema en el eje Y antes del choque:

v1iy = 0

v2iy = 0

pix = 0

Calculamos la cantidad de movimiento del sistema en el eje Y después del choque:

v1fy = 4,33 · sen30º

v2fy = v2f ·sen β

pfy = m·v1f·sen30º + m ·v2f ·sen β

pfy = m (4,33·0,5 + v2f ·sen β) = m(2.165 + v2f ·sen β)

Aplicamos el principio de conservación de la cantidad de movimiento en el eje Y:

Recuerda que las masas de ambas bolas suponemos que son m kg ya que no conocemos su valor.

piy = pfy

0 = m(2,165 + v2f ·sen β)

0 = 2,165 + v2f ·sen β

v2f ·sen β = -2,165

Ya tenemos nuestro sistema de ecuaciones:

Si dividimos la ecuación en el eje Y entre la ecuación en el eje X:

v2f⋅senβv2f⋅cosβ=−2,1651,25$$\frac{{𝑣}_{2𝑓}\cdot 𝑠𝑒𝑛𝛽}{{𝑣}_{2𝑓}\cdot 𝑐𝑜𝑠𝛽}=\frac{-2,165}{1,25}$$

tan β = -1,732

β = arctan(-1,732) = -60º

Para hallar la velocidad final de la bola de billar que estaba en reposo después del choque utilizamos, por ejemplo, la ecuación 1:

v2f cos β = 1,25 m/s

v2f=1,25cosβ=1,25cos(−60)=1,250,5=2,5$${𝑣}_{2𝑓}=\frac{1,25}{𝑐𝑜𝑠𝛽}=\frac{1,25}{𝑐𝑜𝑠(-60)}=\frac{1,25}{0,5}=2,5$$

v2f = 2,5 m/s