En una colisión siempre se cumple la ley de conservación de “la cantidad de movimiento o momentum lineal”. Según esta ley, en un sistema en el que no actúa ninguna fuerza externa, el momento lineal se conserva. De hecho, la 2ª ley de Newton establece que la fuerza es la variación de momento lineal con respecto al tiempo.
𝐹 = 𝑑(𝑚𝑣 )/𝑑t
Si dicha fuerza es cero, el momento es necesariamente constante. Ésta es una ley general de la física y se cumple independientemente de que la colisión sea elástica o inelástica.
En el caso de un sistema con dos cuerpos, la ley de conservación del momentum lineal se enuncia como:
𝑝1𝑖 + 𝑝2𝑖 = 𝑝1𝑓 + 𝑝2𝑓 = 𝑐𝑡𝑒
donde p1i , p2i, y p1f y p2f son el momentum inicial y final del cuerpo 1 y 2, respectivamente.
Por otra parte, para caracterizar la elasticidad de una colisión entre dos cuerpos se define un coeficiente de restitución como:
𝑒 = − 𝑣2𝑓 − 𝑣1𝑓/𝑣2𝑖− 𝑣1𝑖
donde v1f y v2f es la velocidad final del cuerpo 1 y 2, respectivamente; v1i y v2i la velocidad inicial del cuerpo 1 y 2, respectivamente. Este coeficiente varía entre 0 y 1, siendo 1 el valor para un choque totalmente elástico y 0 para uno totalmente inelástico.
Cabe destacar que, en general, los choques no son ni totalmente elásticos ni totalmente inelásticos, por lo que e alcanza los valores 0 o 1 sólo para casos particulares.
Ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1
Una bola de billar se mueve hacia la izquierda a 30 cm/s, colisionando de frente con otra bola idéntica que se mueve hacia la derecha a 20 cm/s. Las dos bolas tienen la misma masa y el choque es perfectamente elástico. Encontrar la velocidad de cada bola después del impacto.
Solución
u1 = -30 cm/s
u2 = +20 cm/s
Se trata del caso especial en que dos masas idénticas colisionan en una dimensión elásticamente, por lo tanto las velocidades se intercambian.
v1 = +20 cm/s
v2 = -30 cm/s
Ejercicio resuelto 2
El coeficiente de restitución de una pelota que rebota en el suelo es igual a 0,82. Si cae desde el reposo, ¿qué fracción de su altura original alcanzará la pelota después de rebotar una vez? ¿Y después de 3 rebotes?
Solución
El suelo puede ser el objeto 1 en la ecuación del coeficiente de restitución. Y siempre queda en reposo, de manera que:
Se escoge la dirección negativa hacia abajo y la positiva hacia arriba. La velocidad de un objeto que se suelta libremente desde cierta altura ho es:
El signo (–) indica que la pelota desciende:
Con esta velocidad rebota:
El signo + indica que se trata de una velocidad ascendente. Y de acuerdo a ella, la pelota alcanza una altura máxima de:
Ahora regresa al suelo de nuevo con velocidad de igual magnitud, pero signo contrario:
Y rebota con:
Con ello alcanza una altura máxima de:
Llega de nuevo al suelo con:
Rebotes sucesivos
Cada vez que la pelota rebota y asciende hay que multiplicar la velocidad de nuevo por 0.82:
Y alcanza una altura máxima determinada por el cuadrado de dicha velocidad:
A estas alturas h3 es aproximadamente el 30% de ho. ¿Cuál sería la altura al 6to rebote sin necesidad de hacer cálculos tan detallados como los anteriores?
Sería h6 = 0.8212 ho = 0.092ho o apenas el 9% de ho.
Ejercicio resuelto 3
Un bloque de 300 g se mueve hacia el norte a 50 cm/s y choca contra un bloque de 200 g que se dirige hacia el sur a 100 cm/s. Suponga que el choque es perfectamente elástico. Encuentre las velocidades después del impacto.
Datos
m1 = 300 g ; u1 = + 50 cm/s
m2 = 200 g ; u2 = -100 cm/s
Ejercicio resuelto 4
Se libera una masa de m1 = 4 kg desde el punto indicado sobre la pista sin fricción, hasta que colisiona con m2 = 10 kg en reposo. ¿Hasta qué altura se eleva m1 después de la colisión?
Solución
Puesto que no hay rozamiento, se conserva la energía mecánica para encontrar la velocidad u1 con que m1 impacta a m2. Inicialmente, la energía cinética es 0, puesto que m1 parte del reposo. Cuando se mueve sobre la superficie horizontal no tiene altura, por lo cual la energía potencial es 0.
mgh = ½ mu1 2
u2 = 0
Ahora se calcula la velocidad de m1 después de la colisión:
El signo negativo significa que se ha devuelto. Con esta velocidad asciende y se conserva la energía mecánica de nuevo para encontrar h’, la altura a la cual logra ascender después del choque:
½ mv12 =mgh’
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