RADIANES, VELOCIDAD TANGENCIAL Y ANGULAR

La definición formal de un radián es que un radián es la medida de un ángulo que, cuando se dibuja como un ángulo central de un círculo, intercepta un arco cuya longitud es igual a la longitud del radio del círculo. La medida en radianes de un círculo completo es 2π. Esto puede parecer incluso más complicado que 360 ​​°, pero si sigues con las  matemáticas, en realidad funciona. Si recuerda, la ecuación para encontrar la circunferencia de un círculo con radio (r) es C = 2πr. Si r = 1, entonces C = 2π. Por esta razón, 2π es igual a una revolución completa alrededor de un círculo, o 360 ° Un círculo con un radio de 1 se llama círculo unitario .

Dicho de otro modo: un radián es equivalente a 180°/p (pi). Esta unidad, que puede identificarse a través del símbolo rad, facilita la realización de diversos cálculos, todos expresados a través de divisores o múltiplos de p.

Conversión de grados y radianes

La ecuación para convertir grados a radianes es grados = radianes x (180 ° / π). Y la ecuación para convertir radianes a grados es radianes = (π / 180 °) x grados.

Hagamos un ejemplo:

Convierte 60 grados a radianes.

Como buscamos radianes, la forma de la ecuación que necesitamos es: radianes = grados x π / 180

Conectamos nuestros 60 grados para obtener: radianes = 60 x π / 180

Esto se puede simplificar a: radianes = π / 3, que es nuestra respuesta.

Aquí hay otro ejemplo:

Convertir 3π / 4 radianes a grados

Esta vez, la ecuación que necesitamos es: grados = radianes x 180 / π

Sabemos cuál es el número en radianes, por lo que podemos insertarlo en la ecuación para obtener: grados = 3π / 4 x 180 / π. Los dos / π se cancelan y nos quedan grados = 135 °.

La velocidad tangencial es igual a la velocidad angular por el radio. Se llama tangencial porque es tangente a la trayectoria.

La velocidad tangencial es un vector, que resulta del producto vectorial del vector velocidad angular (ω) por el vector posición (r) referido al punto P.

Velocidad tangencial en el movimiento circular uniforme (MCU)

La velocidad tangencial es igual a la velocidad angular por el radio.

La velocidad tangencial, al igual que la velocidad angular, es constante.

Velocidad tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio r. Pero en el caso del MCUA, la velocidad tangencial se incrementa linealmente debido a que la aceleración angular α se mantiene constante. Se expresa mediante la siguiente fórmula:

Dándose aquí igualmente la posibilidad de aceleración negativa.

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación, y se define como el ángulo que gira el vector de posición del objeto que rota, por unidad de tiempo. Es una magnitud que describe el movimiento de multitud de objetos que constantemente giran en todas partes: CD, ruedas de autos, maquinarias, la Tierra y muchos más.

Un esquema del “London eye” (la rueda de Londres) se aprecia en la siguiente figura. En ella se representa el movimiento de un pasajero representado por el punto P, que sigue la trayectoria circular, denominada c:

A partir del instante t transcurre un lapso de tiempo Δt. En ese lapso la nueva posición del pasajero puntual es P’ y la posición angular se ha incrementado un ángulo Δϕ

¿Cómo se calcula la velocidad angular?

Para las magnitudes rotacionales se utilizan mucho las letras griegas, a fin de diferenciarlas de las magnitudes lineales. Así que inicialmente se define la velocidad angular media ωm como el ángulo recorrido en un lapso de tiempo dado.

Entonces, el cociente Δϕ/Δt representará la velocidad angular media ωm entre los instantes t y t+Δt.

Si se quiere calcular la velocidad angular justo en el instante t, entonces habrá que calcular el cociente Δϕ/Δt cuando Δt 0:

La unidad de medida de la velocidad angular es rad/s.

Ejercicios resueltos de velocidad angular

Ejercicio 1

Las cabinas de la gran rueda giratoria conocida como El ojo de Londres se mueven lentamente. La rapidez de las cabinas es de 26 cm/s y la rueda tiene 135 m de diámetro.

Con estos datos calcule:

i) La velocidad angular de la rueda.

ii) La frecuencia de rotación.

iii) El tiempo que le toma a una cabina dar la vuelta completa.

Respuestas:

i) La rapidez v en m/s es: v = 26 cm/s = 0,26 m/s.

El radio es la mitad del diámetro: r= (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r・ω   => ω = v/r = (0,26 m/s)/(67,5 m) = 0,00385 rad/s

ii) ω = 2π・f   => f = ω / 2π = (0,00385 rad/s) / (2π rad) = 6,13 x 10-4 vueltas/s

f = 6,13 x 10^-4 vuelta/s = 0,0368 vuelta/min = 2,21 vuelta/hora.

iii) T= 1 / f = 1 / 2,21 vuelta/hora = 0,45311 hora = 27 min 11 seg

Ejercicio 2

Un auto de juguete se mueve en una pista circular de 2 m de radio. A los 0 s su posición angular es 0 rad, pero al cabo de un tiempo t su posición angular viene dada por:

φ(t) = 2・t 

Determine:

i) La velocidad angular. 

ii) La rapidez lineal en cualquier instante.

Respuestas:

i) La velocidad angular es la derivada de la posición angular: ω = φ’(t) = 2.

Es decir, que el auto de juguete en todo instante tiene velocidad angular constante igual a 2 rad/s.

ii) La rapidez lineal del auto es: v = r・ω = 2 m ・2 rad/s = 4 m/s = 14,4 Km/h

Ejercicio 3

El mismo auto del ejercicio anterior comienza a detenerse. Su posición angular como función del tiempo está dada por la siguiente expresión:

φ(t) = 2・t – 0,5・t2 

Determine:

i) La velocidad angular en cualquier instante.

ii) La rapidez lineal en cualquier instante.

iii) El tiempo que le toma detenerse a partir del instante en que comienza a desacelerar.

iv) El ángulo recorrido .

v) La distancia recorrida.

Respuestas:

i) La velocidad angular es la derivada de la posición angular: ω = φ’(t)

ω(t) = φ’(t) = (2・t – 0,5・t2)’ = 2 – t

ii) La rapidez lineal del auto en cualquier instante está dada por: